3筑波大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1)

座標を$O=(0,0),B=(5,0),A=(5\cos\alpha,5\sin\alpha)$ととる。$AC\perp OB$より、$C=(5\cos\alpha,-5\sin\alpha)$である。
$\mathrm{EA}/\!/\mathrm{BC}$ であり、$\mathrm{EA}$ が $\mathrm{OA}$ と重なるなら $\mathrm{OA}/\!/\mathrm{BC}$ である。このとき、ある実数 $k$ があって $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=k\,\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と書ける。
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(5\cos\alpha,\,5\sin\alpha)$、$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(5\cos\alpha-5,\,-5\sin\alpha)$ だから、成分を比べて $-5\sin\alpha=5k\sin\alpha$。$\sin\alpha>0$ なので $k=-1$。このとき $5\cos\alpha-5=-5\cos\alpha$ より $\cos\alpha=\dfrac12$。指定範囲 $0^\circ<\alpha<90^\circ$ から $\alpha=60^\circ$ である。この値なら実際に $\mathrm{BC}/\!/\mathrm{OA}$ であり、$\mathrm{EA}$ は $\mathrm{A}$ を通る直径で $\mathrm{OA}$ を含む。

(2)

$\cos\alpha=\frac35,\sin\alpha=\frac45$なので、$A=(3,4),B=(5,0),C=(3,-4)$である。$BC$の傾きは$2$、したがって$EA$の式は$y=2x-2$である。
$C$からこの直線への距離は$CF=\frac{|2\cdot3-(-4)-2|}{\sqrt5}=\frac8{\sqrt5}$である。$\overrightarrow{AC}=(0,-8)$を$EA$方向の単位ベクトル$\frac{(1,2)}{\sqrt5}$に射影すると、$AF$の長さは$\frac{16}{\sqrt5}$である。
$\triangle ACF$は$F$で直角なので、面積は$\frac{AF\cdot CF}2=\frac{64}5$である。