2筑波大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)

$I_n(x)=\frac1{n!}\int_0^x(x-u)^ne^u\,du$とおく。$n\geqq1$で部分積分すると、$I_n=-\frac{x^n}{n!}+I_{n-1}$である。
$I_0=\int_0^xe^u\,du=e^x-1$なので、漸化式を繰り返すと、
$$I_n=e^x-1-\sum_{k=1}^n\frac{x^k}{k!}=e^x-\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}.$$

(2)

問1左辺の被積分関数は$0\leqq u\leqq x$で非負、$0\leqq u<x$では正である。したがって、左辺は正であり、右辺も正となるため、指定の不等式が成立する。

(3)

問2を$n+1$に適用すれば、$e^x\geqq\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$である。したがって、$0\leqq\frac{x^n}{e^x}\leqq\frac{(n+1)!}x\to0$となる。はさみうちの原理より、極限は$0$である。