1筑波大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

加法定理により、
$$\begin{aligned}\sin3\theta&=\sin2\theta\cos\theta+\cos2\theta\sin\theta\\&=2\sin\theta\cos^2\theta+(2\cos^2\theta-1)\sin\theta\\&=\sin\theta(4\cos^2\theta-1).\end{aligned}$$$$\sin 3\theta =\sin 2\theta \cos \theta +\cos 2\theta \sin \theta$$$$=2\sin \theta {\cos }^2\theta +(2{\cos }^2\theta -1)\sin \theta$$$$=\sin \theta (4{\cos }^2\theta -1).$$

(2)

各$\theta$で$7\theta$は奇数倍の$\pi$である。したがって、$4\theta=7\theta-3\theta$であり、$\sin4\theta=\sin\{(2j+1)\pi-3\theta\}=\sin3\theta$となる。

(3)

問1と$\sin4\theta=4\sin\theta\cos\theta(2\cos^2\theta-1)$を、問2の3角に適用する。これらでは$\sin\theta\ne0$なので、$4\cos^2\theta-1=4\cos\theta(2\cos^2\theta-1)$となる。
$x=2\cos\theta$とおけば、$x^3-x^2-2x+1=0$である。$\cos\theta$は$0<\theta<\pi$で狭義減少するので、得られた3根は相異なる。最高次係数が$1$の3次多項式は、これら3一次因子の積に等しい。

(4)

問3の3根を$r_1,r_2,r_3$とすると、$\sum_jr_j=1$、$\sum_{i<j}r_ir_j=-2$であり、$\sum_jr_j^2=1-2(-2)=5$である。
各根は$r_j^3=r_j^2+2r_j-1$を満たすので、$\sum_jr_j^3=5+2\cdot1-3=4$である。$r_j=2\cos\theta_j$より、求める和は$\frac48=\frac12$であり、有理数である。