白衣のものさし
医学部数学 過去問問題を探す

筑波大学／2022年度／推薦

3筑波大学 2022年 数学 第3問解答・解説

1問題

筑波大学2022年度第3問
図のように、半径1の円CCの周りに、互いに半径の等しいnn個の円C1C_{1}、C2C_{2}、⋯\cdots、CnC_{n}が外接し、さらに、円C1C_{1}とC2C_{2}、円C2C_{2}とC3C_{3}、⋯\cdots、円Cn−1C_{n-1}とCnC_{n}、円CnC_{n}とC1C_{1}が互いに外接して、ちょうど1周して円CCを囲む。互いに半径の等しいnn個の円C1C_{1}、C2C_{2}、⋯\cdots、CnC_{n}の半径をrnr_{n}とするとき、次の問に答えなさい。

(1) rnr_{n}をnnとπ\piを用いて表しなさい。

(2) 次を証明しなさい。

lim⁡n→∞n⋅rn=π \displaystyle\lim_{n\to\infty}n\cdot r_{n}=\pi

(3) 次の極限値を求めなさい。

lim⁡n→∞n(π−nrn) \displaystyle\lim_{n\to\infty}n(\pi-nr_{n})

必要ならば次を用いてもよい。0<θ<π20<\theta<\dfrac{\pi}{2}のとき、θ−16θ3<sin⁡θ<θ\theta-\dfrac{1}{6}\theta^{3}<\sin\theta<\theta。
保存された問題原図（掲載用の切抜き・配置は未確定）

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 1
    rn=sin⁡πn1−sin⁡πnr_n=\frac{\sin\frac\pi n}{1-\sin\frac\pi n}（n≧3n\geqq3）。
  • 2
    lim⁡n→∞nrn=π\displaystyle\lim_{n\to\infty}nr_n=\pi。
  • 3
    極限は −π2-\pi^2。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

外側円の中心は CC の中心から距離 1+rn1+r_n の円上にあり、隣接する中心間の距離 2rn2r_n は共通である。
ちょうど一周するため、各中心角は 2πn\frac{2\pi}n である。半分に分けた直角三角形から sin⁡πn=rn1+rn\sin\frac\pi n=\frac{r_n}{1+r_n} となり、これを解いて答えを得る。

(2)

θn=πn\theta_n=\frac\pi n とおくと、nrn=πsin⁡θnθn1−sin⁡θnnr_n=\pi\frac{\frac{\sin\theta_n}{\theta_n}}{1-\sin\theta_n} である。
n→∞n\to\infty で θn→0\theta_n\to0、sin⁡θnθn→1\frac{\sin\theta_n}{\theta_n}\to1、分母は 11 に近づくので、極限は π\pi となる。

(3)

sn=sin⁡πns_n=\sin\frac\pi n とおくと、
n(π−nrn)=n(π−nsn)−nπsn1−snn(\pi-nr_n)=\frac{n(\pi-ns_n)-n\pi s_n}{1-s_n}
である。指定の不等式から
0<n(π−nsn)=n2(πn−sn)<π36n→00<n(\pi-ns_n)=n^2\left(\frac\pi n-s_n\right)<\frac{\pi^3}{6n}\to0
となる。一方、nπsn=π2sin⁡πnπn→π2n\pi s_n=\pi^2\frac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}\to\pi^2、分母は 11 に近づく。したがって極限は −π2-\pi^2 である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

筑波大学の数学を、過去 10 年分まとめて解けるものがあったら使いたいですか？

次にやること

筑波大学のほかの年度

2026202520242024推薦20232023推薦20222022