筑波大学 2022年数学第1問解答・解説

1問題

筑波大学2022年度第1問

次の問に答えなさい。

(1) 平面上におけるベクトル

\overrightarrow{a}=(-7,1)

、

\overrightarrow{b}=(4,3)

について、以下の小問に答えなさい。

(小問1)　ベクトル

\;\overrightarrow{a}\;

および

\;\overrightarrow{b}\;

をベクトル

\;\overrightarrow{x}=(-1,2)\text{、}

\overrightarrow{y}=(-2,1)

を用いて表わしなさい。

(小問2)　ベクトル

\;\overrightarrow{a}\;\text{、}

\overrightarrow{b}\;

のなす角

\;\theta \;

を求めなさい。ただし、

0^{\circ}<\theta<180^{\circ}

とする。

(2) 次の両条件をみたす球面

\;S\;

の方程式を求めなさい。

・球面

\;S\;

の中心

\;\mathrm{C}\;

は原点

\;\mathrm{O}\;

と点

\;\mathrm{D}\;

(1,-1,4)

を通る直線上にあり、中心

\;\mathrm{C}\;

は原点

\;\mathrm{O}\;

に一致しない。

・ベクトル

\;\overrightarrow{OD}\;

に垂直な直線は球面

\;S\;

の中心

\;\mathrm{C}\;

および球面

\;S\;

上の点

\;\mathrm{P}\;

(5,-7,6)

を通る。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

1小問1
$\vec a=-\frac53\vec x+\frac{13}3\vec y$ 、 $\vec b=\frac{10}3\vec x-\frac{11}3\vec y$ 。
1小問2
$\theta=135^\circ$ 。
2
$(x-2)^2+(y+2)^2+(z-8)^2=38$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

1小問1

\vec a=u\vec x+v\vec y

とおくと、

-u-2v=-7

、

2u+v=1

である。解いて

u=-\frac53,v=\frac{13}3

を得る。
同様に

\vec b

では、

-u-2v=4

、

2u+v=3

から

u=\frac{10}3,v=-\frac{11}3

となる。

1小問2

\vec a\cdot\vec b=-7\times4+1\times3=-25

、

|\vec a|=\sqrt{50}=5\sqrt2

、

|\vec b|=5

である。
したがって

\cos\theta=\frac{-25}{25\sqrt2}=-\frac1{\sqrt2}

となる。指定範囲

0^\circ<\theta<180^\circ

より、

\theta=135^\circ

である。

(2)

中心

C

は直線

OD

上なので、

C=t(1,-1,4)

、

t\ne0

とおける。

CP\perp OD

より

(\overrightarrow{OP}-t\overrightarrow{OD})\cdot\overrightarrow{OD}=0

であり、

\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OD}=5+7+24=36

、

\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OD}=18

から

t=2

を得る。
したがって

C=(2,-2,8)

である。半径は

CP=|(3,-5,-2)|=\sqrt{38}

なので、答えの球面方程式となる。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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3解答

解答

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