2筑波大学 2022年 数学 第2問解答・解説

次の問に答えなさい。ただし、小数点第3位まで求めること。

(1) 5人の患者の検査 $\mathrm{X}$ と検査 $\mathrm{Y}$ の計測結果は右の表の通りであった。

$$\begin{array}{c|c|c}\text{患者} & \text{検査 X} & \text{検査 Y}\\ \hline 1 & 4.6 & 89\\ 2 & 5.5 & 91\\ 3 & 6.8 & 138\\ 4 & 7.9 & 180\\ 5 & 10.2 & 202\end{array}$$

患者 $i$（$i=1,\,\cdots,\,5$）の検査 $\mathrm{X}$ の検査値を $x_{i}$、患者 $i$ の検査 $\mathrm{Y}$ の検査値を $y_{i}$ とする。右記の計測結果に基づき、未知の患者 $n$ の検査 $\mathrm{Y}$ の検査値 $y_{n}$ を検査値 $x_{n}$ に基づき次の式①で推定する。

$$y_{n}=Ax_{n}+B,\quad A=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,\,Y)}{{\sigma_{\mathrm{X}}}^{2}},\quad B=\mu_{\mathrm{Y}}-A\mu_{\mathrm{X}},\quad X=(x_{1},\,\cdots,\,x_{5}),\quad Y=(y_{1},\,\cdots,\,y_{5})\quad\cdots\cdots\text{①}$$

ここで、それぞれ $\mu_{\mathrm{X}}$ は $x_{i}$ の平均、$\mu_{\mathrm{Y}}$ は $y_{i}$ の平均、${\sigma_{\mathrm{X}}}^{2}$ は $x_{i}$ の分散、$\mathrm{Cov}(X,\,Y)$ は $X$ と $Y$ の共分散を表す。このとき、以下の問いに答えなさい。

表の5人の患者の検査結果を全て利用して、未知の患者 $n$ の検査値 $\mathrm{Y}$ の値を検査値 $\mathrm{X}$ の値から推定する式①を作成しなさい。また、検査値 $\mathrm{X}$ の値が $7.0$ の患者について予測される検査値 $\mathrm{Y}$ の値を求めなさい。

(2) ある人が特定の疾患 $\mathrm{D}$ に罹患しているかどうかを検査 $\mathrm{T}$ に基づいて調べたい。ここで、人には個体差があり、真に疾患 $\mathrm{D}$ に罹患している人全員が検査 $\mathrm{T}$ で陽性になるとは限らない。同様に、検査の精度には限界があり、検査 $\mathrm{T}$ で陽性になった人全員が疾患 $\mathrm{D}$ に罹患しているとは限らない。

各単語の定義は以下の通りとする。

感度：真に疾患 $\mathrm{D}$ に罹患している人のうち検査 $\mathrm{T}$ で陽性になる人の割合

特異度：真に疾患 $\mathrm{D}$ に罹患していない人のうち検査 $\mathrm{T}$ で陰性になる人の割合

陰性的中率：検査 $\mathrm{T}$ で陰性になる人のうち真に疾患 $\mathrm{D}$ に罹患していない人の割合

このとき、以下の小問に答えなさい。

(小問1)　100人に1人が疾患 $\mathrm{D}$ に罹患していることが知られており、検査 $\mathrm{T}$ の感度が $99\%$ かつ陰性的中率が $99\%$ であると仮定する。検査 $\mathrm{T}$ を受けて陽性だったとき、真に疾患 $\mathrm{D}$ に罹患している条件付き確率を求めなさい。

(小問2)　100人に1人が疾患 $\mathrm{D}$ に罹患していることが知られており、検査 $\mathrm{T}$ の感度が $99\%$ かつ特異度が $99\%$ であると仮定する。検査 $\mathrm{T}$ を受けて陽性だったとき、真に疾患 $\mathrm{D}$ に罹患している条件付き確率を求めなさい。