4日本医科大学 2026年 数学 第4問解答・解説

$O$を原点とする座標平面において、曲線$C$を次で定める。$C:y=f(x)=\sqrt3x+e^{-x}\ (x\geqq0)$。$n$を1以上の整数とし、直線$y=n$と曲線$C$の共有点を点$P_n(a_n,n)$とする。点$P_n$から直線$L:y=\sqrt3x$に垂線$P_nX_n$を下ろす。曲線$C$、直線$L$、線分$P_nX_n$、線分$P_{n+1}X_{n+1}$で囲まれた部分を直線$L$の周りに1回転させてできる立体の体積を$V_n$とおく。

問1 $C$上の点$P(x,f(x))$から直線$L$に垂線$PX$を下ろし、線分$PX$と線分$OX$の長さをそれぞれ$d(x),s(x)$とおく。$d(x),s(x)$をそれぞれ$x$で表せ。答えのみでよい。

問2 極限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(a_n-\dfrac{\sqrt3}3n\right)$を求めよ。

問3 次の等式が成り立つ関数$F(x)$を求め、$x$で表せ。$V_n=\left[F(x)\right]_{a_n}^{a_{n+1}}$。ただし、実数$\alpha,\beta$に対して、$\left[F(x)\right]_\alpha^\beta$は$F(\beta)-F(\alpha)$を表す。

問4 $k$を正の定数とする。次の極限が存在し、かつその極限値が正となる$k$の値を1つ求めよ。また、そのときの極限値も答えよ。$\displaystyle\lim_{n\to\infty}e^{kn}V_n$。