1日本医科大学 2026年 数学 第1問解答・解説

相異なる3定点$A,B,C$は、ある円周上にこの順序で時計回りに並んでいる。動点$P$は、初めに$A$にあり、1から4の目が等確率で出る正四面体でできた1つのさいころを1回投げたとき、次の規則にしたがって3定点間を移動する。

[規則1] 1の目が出たら円周上を時計回りに今ある定点の隣の定点に移動する。[規則2] 2,3の目が出たら円周上を反時計回りに今ある定点の隣の定点に移動する。[規則3] 4の目が出たら移動しない。

$P$が初めに$A,B,C$にある確率をそれぞれ$a_0,b_0,c_0\ (a_0=1,b_0=0,c_0=0)$とし、さいころを$n\ (n=1,2,3,\cdots)$回投げた後に$P$が$A,B,C$にある確率をそれぞれ$a_n,b_n,c_n$とする。

問1 $a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}$を$a_n,b_n,c_n$で表すとき、以下の空欄に適する1以上の整数を求めよ。ただし、分数は既約分数で求めること。$a_{n+1}=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}a_n+\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}b_n+\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}c_n,\ b_{n+1}=\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}a_n+\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}b_n+\dfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}c_n,\ c_{n+1}=\dfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}a_n+\dfrac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}b_n+\dfrac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}c_n$。

問2 $a_{n+3}$を$b_n,c_n$を用いずに$a_n$のみで表せ。答えのみでよい。

問3 $a_{3n}$を$n$の式で表せ。答えのみでよい。

問4 次の不等式を満たす最小の$n$を求めよ。答えのみでよい。$|a_{3n}-b_{3n+1}|<\left(\dfrac13\right)^{99}$。ただし、$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする。