3日本医科大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1)

漸化式から $C_n(x)=\cos x\cdot\cos\dfrac{x}{2}\cdot\cos\dfrac{x}{2^{2}}\cdots\cos\dfrac{x}{2^{n}}$。倍角公式 $\sin 2u=2\sin u\cos u$ を繰り返すと、すべての実数 $x$ で
$$\sin 2x=2^{n+1}\sin\dfrac{x}{2^{n}}\cdot\cos x\cdot\cos\dfrac{x}{2}\cdots\cos\dfrac{x}{2^{n}}$$
設問の除外条件により $\sin\dfrac{x}{2^{n}}\neq 0$ なので両辺を割り、所定の式を得る。途中で別の正弦が 0 の場合も、積の恒等式自体は常に有効。

(2)

$x$ の近傍を $0<x<\dfrac{\pi}{4}$ に取ればすべての正弦・余弦が正で、問 1 の両辺の対数を微分できる。これにより
$$-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2^{k}}\tan\dfrac{x}{2^{k}}=\dfrac{2}{\tan 2x}-\dfrac{1}{2^{n}}\cdot\dfrac{1}{\tan\dfrac{x}{2^{n}}}.$$
したがって有限和は $\dfrac{1}{2^{n}\tan\dfrac{x}{2^{n}}}-\dfrac{2}{\tan 2x}$。$\dfrac{u}{\tan u}\to 1$（$u\to 0$）より極限は $\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{\tan 2x}$。$x=\dfrac{\pi}{8}$ を代入すると $\dfrac{8}{\pi}-2$ となる。

(3)

問 2 で得た有限和の等式を $x$ について微分すると
$$\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{4^{k}\cos^{2}\dfrac{x}{2^{k}}}=\dfrac{4}{\sin^{2}2x}-\dfrac{1}{4^{n}\sin^{2}\dfrac{x}{2^{n}}}.$$
$\tan^{2}\theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}-1$ を使い、$\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{4^{k}}=\dfrac{4}{3}\left(1-\dfrac{1}{4^{n+1}}\right)$ を引く。$n\to\infty$ で $\dfrac{1}{4^{n}\sin^{2}\dfrac{x}{2^{n}}}\to\dfrac{1}{x^{2}}$ だから、所望の極限は $\dfrac{4}{\sin^{2}2x}-\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{4}{3}$。$x=\dfrac{\pi}{8}$ では $8-\dfrac{64}{\pi^{2}}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{20}{3}-\dfrac{64}{\pi^{2}}$。有限和を微分してから極限を取っており、無限和と微分の交換を仮定していない。