2日本医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1)

$|z|=\sqrt2$ なので $z\ne-1$ で元の式は常に定義される。逆に解くと $z=-\frac{2(w-i)}{2w+1-3i}$。したがって $|z|^2=2$ は $2|w-i|^2=|2w+1-3i|^2$ に同値で、$w=u+iv$ とおいて展開整理すると $(u+1)^2+(v-2)^2=1$。逆変換の分母0となる $w=\frac{-1+3i}{2}$ はこの円上にないので、円周の各点に逆像が存在し、除外点はない。

(2)

$w=u+iv$ とすると $w^2=(u^2-v^2)+2uvi$。これが実数となるのは $uv=0$、すなわち $w$ が実軸または虚軸上にある場合。$C_2$ は中心の虚部2、半径1なので実軸とは交わらない。虚軸 $u=0$ との交点は円の式から $v=2$ だけで、$w=2i$。逆変換に代入すると $z=-\frac{2i}{1+i}=-1-i$。これは $|z|=\sqrt2$ を満たす。

(3)

$w^2$ が純虚数となるには $u^2-v^2=0$ で $w^2\ne0$、すなわち $v=\pm u$ で $w\ne0$。$C_2$ は原点を含まないので0の扱いで解は変わらない。$v=u$ を円式へ入れると $2u^2-2u+4=0$ で実解なし。$v=-u$ では $2u^2+6u+4=0$、$u=-1,-2$。したがって $w=-1+i,-2+2i$。逆変換から順に $z=-1+i,\frac{-7+i}{5}$ を得る。どちらも絶対値 $\sqrt2$ である。