4日本医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

$i$を虚数単位とし、複素数$z$に対して、$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表す。$O$を原点とする複素数平面において、$z$を$|z|=1$、かつ$\dfrac{z-\overline{z}}{2i}>0$を満たす複素数とし、1以上の整数$n$に対して、次の規則$(R_{n}[z])$により複素数$w_{n}$を定める。

$(R_{n}[z])$：「3点$\mathrm{A}(\alpha_{n})$、$\mathrm{B}(\beta_{n})$、$\mathrm{C}(\gamma_{n})$を$\alpha_{n}=z^{4n}$、$\beta_{n}=|z+1|^{2}z^{4n+1}$、$\gamma_{n}=z^{4n+2}$により定め、三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}(w_{n})$とおく。」

ここで、複素数$w_{n}$が次の2つの条件 (i) $w_{n}+\overline{w_{n}}=0$、(ii) $\dfrac{w_{n}-\overline{w_{n}}}{2i}>\dfrac{2}{3}$ を共に満たす複素数$z$の個数を$N_{n}$とし、それら$N_{n}$個の複素数を次のように表す。
$$z_{n,k}=\cos\theta_{n,k}+i\sin\theta_{n,k}\qquad(k=1,\,2,\,\cdots,\,N_{n},\ 0<\theta_{n,1}<\theta_{n,2}<\cdots<\theta_{n,N_{n}}<\pi)$$
また、$z=z_{n,k}$に対して、規則$(R_{n}[z_{n,k}])$により定まる三角形$\mathrm{ABC}$の重心を表す複素数を$w_{n,k}$とおく。このとき、以下の各問いに答えよ。

問1 $N_{n}$と$\theta_{n,k}$を求めよ。

問2 $(z_{n,k})^{4n+1}$を求めよ。答えのみでよい。

問3 次の不等式が成り立つことを示せ。
$$\dfrac{k-1}{2N_{n}}\pi\leqq\theta_{n,k}\leqq\dfrac{k}{2N_{n}}\pi\qquad(k=1,\,2,\,\cdots,\,N_{n})$$

問4 次の極限を求めよ。
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{N_{n}}\displaystyle\sum_{k=1}^{N_{n}}\dfrac{w_{n,k}}{i}$$