2日本医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

実数の定数$a$、$b$は$0<a<1<b$を満たすとする。$xy$平面内において不等式$x^{2}+\dfrac{(y-b)^{2}}{a^{2}}\leqq 1$により定まる領域を、$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を$V(a,b)$とするとき、以下の各問いに答えよ。

問1 $V(a,b)$を$a$と$b$を用いて表せ。答えのみでよい。

問2 $n$、$j$を1以上の整数として、$V(a,b)$に対して$W_{n,j}(a)$を次で定める。
$$W_{n,j}(a)=V\left(a^{n-1},\,1+\dfrac{2j-1}{2^{n-1}}\right)$$
この$W_{n,j}(a)$に対して$X_{n}(a)$を次で定める。
$$X_{n}(a)=\displaystyle\sum_{j=1}^{2^{n-1}}W_{n,j}(a)$$
$X_{n}(a)$を$a$と$n$を用いて表せ。答えのみでよい。

問3 問2の$X_{n}(a)$に対して次の無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nX_{n}(a)$が収束するための$a$に対する必要十分条件を求め、そのときの無限級数の和を$a$を用いて表せ。なお必要ならば、$-1<r<1$を満たす実数の定数$r$に対して$\displaystyle\lim_{n\to\infty}nr^{n}=0$が成り立つことを用いてよい。