3日本医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

問1 法線

$x^{2}+2y^{2}=2$ を微分して接線の傾きは $-\dfrac{x}{2y}=\dfrac{\cos\theta}{\sqrt{2}\sin\theta}$。法線の傾きは $-\sqrt{2}\tan\theta$ で、$P$ を通ることから $y=-\sqrt{2}\tan\theta\cdot x+\sin\theta$。

問2 最大値とグラフ

$f'(\theta)=\dfrac{\cos^{3}\theta-k}{\cos^{2}\theta}$。$\cos\theta$ は $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ で $1$ から $0$ へ減少するので、$\alpha$ の左で $f'(\theta)>0$、右で $f'(\theta)<0$。
$\cos\alpha=k^{\dfrac{1}{3}}$ を代入すると $f(\alpha)=\sin\alpha\left(1-\dfrac{k}{\cos\alpha}\right)=(1-k^{\dfrac{2}{3}})^{\dfrac{3}{2}}$。
$f(\theta)=\sin\theta\left(1-\dfrac{k}{\cos\theta}\right)$ なので、唯一の零点 $\beta$ は $\cos\beta=k$ を満たす。$0<k<1$ より $k^{\dfrac{1}{3}}>k$、従って $0<\alpha<\beta<\dfrac{\pi}{2}$。
グラフは $\theta\to+0$ で $0$ へ近づき、$\alpha$ で正の最大値を取り、$\beta$ で横軸を横切り、$\theta\to\dfrac{\pi}{2}-0$ で $-\infty$ へ下がる。概形は図に示す。

問3 領域Dと境界

固定した $0<x\leqq\dfrac{1}{4}$ について $k=\sqrt{2}\,x$ は $0<k<1$。法線上の高さは問2の $f(\theta)$ なので、$\theta$ を動かした値域は $y\leqq(1-k^{\dfrac{2}{3}})^{\dfrac{3}{2}}$ である。$y\geqq0$ と交わらせて、領域の縦断面を得る。
$x=0$ では $y=\sin\theta$ なので $0<y<1$。したがって点 $(0,0)$、$(0,1)$ は $D$ に含まれないが、境界には属する。右上端は $x=\dfrac{1}{4}$ で、$k^{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}$ より $y=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$。
以上の上の曲線、両側の縦線、下辺を図示し、方程式を記入した。

問4 面積

境界の有無は面積に影響しないので、
$$S=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{1}{4}}\left\{1-\left(\sqrt{2}\,x\right)^{\dfrac{2}{3}}\right\}^{\dfrac{3}{2}}\,dx.$$
$x=\dfrac{\cos^{3}t}{\sqrt{2}}$、$y=\sin^{3}t$ と置く。$x=0$ で $t=\dfrac{\pi}{2}$、$x=\dfrac{1}{4}$ で $t=\dfrac{\pi}{4}$ なので
$$S=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\displaystyle\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{2}}\sin^{4}t\cos^{2}t\,dt.$$
$\sin^{4}t\cos^{2}t=\dfrac{2-\cos2t-2\cos4t+\cos6t}{32}$ より、積分値は $\dfrac{\pi}{64}+\dfrac{1}{48}$。よって $S=\dfrac{3\pi+4}{64\sqrt{2}}$。