1日本医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

中が見える番号付きの3つの箱、箱1、箱2、箱3の中に、それぞれ白球が1個ずつ入っている。また、箱の外に、白球、黒球がそれぞれ十分多くある。1から6の目をもつ1つのさいころを1回投げて出た目を$n$とするとき、出た目に応じて以下の操作を行う。

(i) $n=1,\,2,\,3$ の場合、箱$n$の中に白球が入っている場合には、その1つの白球を箱の外にある1つの黒球と入れかえる。ただし、箱$n$の中に黒球が入っている場合には何も操作をしない。

(ii) $n=4,\,5$ の場合、箱1、箱2、箱3のいずれかの中に黒球が入っている場合には、黒球が入っているすべての箱に対し、その1つの黒球を箱の外にある1つの白球と入れかえる。ただし、箱の中に入っている球がすべて白球である場合には何も操作をしない。

(iii) $n=6$ の場合、箱1、箱2、箱3のいずれかの中に白球が入っている場合には、白球が入っているすべての箱に対し、その1つの白球を箱の外にある1つの黒球と入れかえる。ただし、箱の中に入っている球がすべて黒球である場合には何も操作をしない。

さいころを3回投げたとき、以下の各問いの空欄に適する1以上の整数を求めよ。ただし、分数は既約分数で答えること。

問1 箱1、箱2、箱3の中に入っている球がすべて白球である確率は$\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$となる。

問2 箱1、箱2の中に入っている球が共に黒球であり、箱3の中に入っている球が白球である確率は$\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$となる。

問3 箱1の中に入っている球が黒球であり、箱2、箱3の中に入っている球が共に白球である確率は$\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}$となる。

問4 箱1の中に入っている球が黒球であるという条件のもとで、箱3の中に入っている球が白球である確率は$\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}$となる。