4日本医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

問1
$N=0$では$e^{x}>1$である。$N=k$で成立すると仮定し、$g(x)=e^{x}-\dfrac{x^{k+1}}{(k+1)!}$とおくと、$x>0$で$g'(x)=e^{x}-\dfrac{x^{k}}{k!}>0$である。
よって、$g(x)>g(0)=1>0$となる。数学的帰納法により、すべての$N$で成立する。

問2(1)

$\displaystyle\int_{0}^{M}x^{m-1}e^{-x^{m}}\,dx=\dfrac{1-e^{-M^{m}}}{m}$である。
$M\to\infty$のとき$\dfrac{1}{m}$となる。

問2(2)

部分積分により、
$$\begin{aligned}\displaystyle\int_{0}^{M}x^{m(n+1)+m-1}e^{-x^{m}}\,dx&=-\dfrac{M^{m(n+1)}e^{-M^{m}}}{m}\\ &\quad+(n+1)\displaystyle\int_{0}^{M}x^{mn+m-1}e^{-x^{m}}\,dx.\end{aligned}$$$${\int }_0^M{x}^{m(n+1)+m-1}{e}^{-x^m}dx=-\frac{M^{m(n+1)}{e}^{-M^m}}{m}$$$$+(n+1){\int }_0^M{x}^{mn+m-1}{e}^{-x^m}dx.$$
問1で$N=n+2,\ x=M^{m}$を代入すると、$0\leqq M^{m(n+1)}e^{-M^{m}}<\dfrac{(n+2)!}{M^{m}}$であり、$M\to\infty$のとき右辺は$0$に近づく。
したがって、仮定した$I_{n}(m)$の存在から、$I_{n+1}(m)$の存在と漸化式が従う。

問2(3)

$I_{0}(m)=\dfrac{1}{m}$が存在し、問2(2)を繰り返す数学的帰納法により、すべての$n$で極限が存在する。
また、$I_{n}(m)=n(n-1)\cdots 1\cdot I_{0}(m)=\dfrac{n!}{m}$である。

(3)

問2より$\dfrac{I_{mn}(m)}{I_{n}(m)}=\dfrac{(mn)!}{n!}$である。極限を取る前の正の量を$L_{m,n}$とおくと、
$$\log L_{m,n}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=n+1}^{mn}\log\dfrac{k}{n}.$$
$f(x)=\log x$は、$1\leqq x\leqq m$で単調増加である。$k=n+1,\,n+2,\,\cdots,\,mn$のそれぞれについて、区間$\dfrac{k-1}{n}\leqq x\leqq\dfrac{k}{n}$では
$$\dfrac{1}{n}\log\dfrac{k-1}{n}\leqq\displaystyle\int_{\dfrac{k-1}{n}}^{\dfrac{k}{n}}\log x\,dx\leqq\dfrac{1}{n}\log\dfrac{k}{n}$$
が成り立つ。全部を足すと左右の和の差は$\dfrac{1}{n}(\log m-\log 1)=\dfrac{\log m}{n}$にすぎない。よって
$$0\leqq\log L_{m,n}-\displaystyle\int_{1}^{m}\log x\,dx\leqq\dfrac{\log m}{n}$$
であり、$n\to\infty$のとき右辺は$0$に近づく。
部分積分により
$$\displaystyle\int_{1}^{m}\log x\,dx=\left[x\log x-x\right]_{1}^{m}=m\log m-m+1.$$
指数関数の連続性を用いると
$$L_{m}=e^{m\log m-m+1}=\dfrac{m^{m}}{e^{m-1}}$$
となる。