3日本医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

平面上の3点$O,A,B$を、$OA=OB=1$、かつ$0<\angle AOB<\dfrac\pi2$を満たすようにとる。$\theta=\angle AOB$とおく。点$P_1$を点$A$とする。$P_1$より直線$OB$に垂線$P_1Q_1$を下ろし、$Q_1$より直線$OA$に垂線$Q_1P_2$を下ろし、以下同様にして、点$P_1,P_2,P_3,\cdots$を直線$OA$上に、点$Q_1,Q_2,Q_3,\cdots$を直線$OB$上に、それぞれとる。また、三角形$OP_kQ_k\ (k=1,2,\cdots)$の面積を$S_k$とする。正の実数$p,q$に対して、関数$A_p(\theta),B_q(\theta)$、および、$C(\theta)$を次で定める。
$A_p(\theta)=\left(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\{(P_kQ_k)^p+(Q_kP_{k+1})^p\}\right)^{1/p},\quad B_q(\theta)=\left\{\displaystyle\sum_{k=1}^\infty(P_kQ_k)^q\right\}^{1/q},\quad C(\theta)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty S_k$
以下の各問いに答えよ。ただし、平面上の相異なる2点$X,Y$に対して、$XY$は線分$XY$の長さを表す。
問1 $A_p(\theta)$を$\theta,p$を用いて表せ。答えのみでよい。
問2 $B_q(\theta)$を$\theta,q$を用いて表せ。答えのみでよい。
問3 $C(\theta)$を$\theta$を用いて表せ。答えのみでよい。
問4 次の極限が存在し、かつその極限値が正となるための$p$に対する必要十分条件を求めよ。また、そのときの極限値も答えること。ただし、記号$\displaystyle\lim_{\theta\to+0}$は$\theta>0$の範囲で$\theta$を0に限りなく近づけたときの極限を意味する。
$\displaystyle\lim_{\theta\to+0}\dfrac{A_p(\theta)\cdot B_{p/2}(\theta)}{C(\theta)}$