2日本医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$O$を原点とする複素数平面において、$O$を中心とする半径$\dfrac{\sqrt2}{2}$の円を$C_1$とし、$C_1$上の点$P(z)$に対して、複素数平面上の点$Q(w)$を次で定義する。$w=\dfrac{z+i}{z+1}$
ただし、$i$を虚数単位とする。また、2点$P,Q$を通る直線を$L$とおき、$L$上の任意の点を$R(u)$とおく。このとき、以下の各問いの$\boxed{ア}$～$\boxed{ソ}$に適する実数を求めよ。問4については導出過程も記せ。
問1 点$P(z)$が$C_1$上を動くとき、点$Q(w)$の軌跡は中心$\boxed{ア}+\boxed{イ}i$、半径$\boxed{ウ}$の円$C_2$となる。
問2 $z=-\dfrac12+\dfrac12i$のとき、$L$上の任意の点$R(u)$は次の直線の方程式を満たす（ただし、複素数$u$と共役な複素数を$\overline u$で表す）。$(\boxed{エ}+\boxed{オ}i)u+(\boxed{カ}+\boxed{キ}i)\overline u=1$
また、$L$と問1の$C_2$の2つの交点$A(\alpha),B(\beta)$は$\alpha=\boxed{ク},\ \beta=\boxed{ケ}+\boxed{コ}i$で与えられる。
問3 $L$が問2の点$A(\alpha)$を通るための必要十分条件は次のように表せる（ただし、0でない複素数$\gamma$に対して、$\arg\gamma$は$\gamma$の偏角を表す）。$\arg\left(\dfrac{z-\alpha}{z-w}\right)=\boxed{サ}$または$\boxed{シ}$（ただし、$0\leqq\boxed{サ}<\boxed{シ}<2\pi$）
問4 点$P(z)$が$C_1$上を動くとし、かつ$L$が問2の点$A(\alpha)$を通るとする。これら2つの条件を満たす点$P(z)$は全部で$\boxed{ス}$個あり、$\boxed{ス}$個の複素数$z$の中で実部の値が最も大きい複素数は$\boxed{セ}+\boxed{ソ}i$である。