4日本医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1)

分母は $(x+1)^2+3$ である。$x+1=\sqrt3\tan u$ とおくと、$x=0$ で $u=\frac\pi6$、$x=\sqrt3-1$ で $u=\frac\pi4$ となる。
$\frac{dx}{x^2+2x+4}=\frac{du}{\sqrt3}$ となるから、積分は $\frac1{\sqrt3}(\frac\pi4-\frac\pi6)=\frac\pi{12\sqrt3}$ である。

2 (1)

$0\leqq x\leqq a<1$ では $1-x^3\geqq1-a^3>0$ である。したがって、
$$0\leqq\frac{x^{3n}}{1-x^3}\leqq\frac{x^{3n}}{1-a^3}.$$
両辺を $0$ から $a$ まで積分すると、$I_n(a)\leqq\frac1{1-a^3}\cdot\frac{a^{3n+1}}{3n+1}$ を得る。$n=0$ でも同様に成立する。

2 (2)

同じ区間の積分をまとめると、
$$I_n-I_{n+1}=\int_0^a\frac{x^{3n}-x^{3n+3}}{1-x^3}\,dx =\int_0^ax^{3n}\,dx=\frac{a^{3n+1}}{3n+1}.$$

(3)

$a=\frac{\sqrt3-1}2$ とおくと $0<a<1$ で、$a^3=\frac{3\sqrt3-5}4$ である。
(2) の差を $n=0$ から $N$ まで足せば、
$$\sum_{n=0}^N\frac{a^{3n}}{3n+1}=\frac{I_0(a)-I_{N+1}(a)}a.$$
(2)(1) の評価から $I_{N+1}(a)\to0$ なので、求める級数は $\frac{I_0(a)}a$ である。
部分分数分解すると $\frac1{1-x^3}=\frac1{3(1-x)}+\frac{x+2}{3(x^2+x+1)}$ である。
さらに $x+2=\frac12(2x+1)+\frac32$ だから、
$$I_0(a)=-\frac13\log(1-a)+\frac16\log(a^2+a+1)+\frac12\int_0^a\frac{dx}{x^2+x+1}.$$
$u=2x$ とおくと最後の項は $\int_0^{2a}\frac{du}{u^2+2u+4}$ となる。$2a=\sqrt3-1$ なので (1) の値 $\frac\pi{12\sqrt3}$ となる。
$a^2+a+1=\frac32$、$\frac{a^2+a+1}{(1-a)^2}=2+\sqrt3$ より、対数項の和は $\frac16\log(2+\sqrt3)$ である。
最後に $\frac1a=\sqrt3+1$ を掛けて、結論の和を得る。