3日本医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1)

$\vec a=\overrightarrow{OA},\vec b=\overrightarrow{OB},\vec c=\overrightarrow{OC}$、$r=x(1-x)$ とする。
$\overrightarrow{OD}=(1-x)\vec a+x\vec b$、$\overrightarrow{OE}=(1-x)\vec b+x\vec c$ である。$P=A+u(E-A)=C+v(D-C)$ と表す。
$\vec a,\vec b,\vec c$ の係数比較から $u(1-x)=vx$、$1-u=v(1-x)$ である。これを解くと $u=\frac x{x^2-x+1}$ となる。
$P$ の $B$ に対応する重心座標は $u(1-x)=\frac r{1-r}$ である。底辺 $AC$ を共有する $\triangle APC$ と $\triangle ABC$ の高さの比はこの座標に等しい。
$\triangle ABC$ の面積は $\frac{\sqrt3}4$ なので $S=\frac{\sqrt3r}{4(1-r)}=\frac{\sqrt3x(1-x)}{4(x^2-x+1)}$ である。

(2)

正四面体の辺より $|\vec b|=|\vec c|=1$、$\vec b\cdot\vec c=\frac12$ である。
$$|\overrightarrow{OE}|^2=|(1-x)\vec b+x\vec c|^2=(1-x)^2+x^2+x(1-x)=x^2-x+1=1-r.$$
よって長さはその正の平方根である。

(3)

$\overrightarrow{BD}=(1-x)(\vec a-\vec b)$、$\overrightarrow{BE}=x(\vec c-\vec b)$ であり、正三角形 $ABC$ の $\angle ABC=60^\circ$ から $\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BE}=\frac r2$ である。
一方 $\overrightarrow{OE}=(1-x)\vec b+x\vec c$ なので $\vec a\cdot\overrightarrow{OE}=\frac{1-x}2+\frac x2=\frac12$ である。
$Q$ は直線 $OE$ 上にあるので $\overrightarrow{OQ}=\lambda\overrightarrow{OE}$ とおけば、条件 $\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BE}$ から $\frac\lambda2=\frac r2$、したがって $\lambda=r$ である。
よって、
$$\begin{aligned} T^2&=\frac14\left(|\vec a|^2|r\overrightarrow{OE}|^2-(\vec a\cdot r\overrightarrow{OE})^2\right)\\ &=\frac{r^2}4\left(1-r-\frac14\right)=\frac{r^2(3-4r)}{16}. \end{aligned}$$$$T^2=\frac{1}{4}\left(|\vec{a}{|}^2|r\overrightarrow{OE}{|}^2-(\vec{a}\cdot r\overrightarrow{OE}{)}^2\right)$$$$=\frac{r^2}{4}\left(1-r-\frac{1}{4}\right)=\frac{r^2(3-4r)}{16}.$$
$r>0$ より $T=\frac r4\sqrt{3-4r}$ である。

(4)

$0<x<1$ から $0<r=x(1-x)\leqq\frac14$ で、等号は $x=\frac12$ のときに成り立つ。
(1)(3) より $\frac S{T^2}=\frac{4\sqrt3}{r(1-r)(3-4r)}$ である。
分母を $F(r)=r(1-r)(3-4r)=3r-7r^2+4r^3$ とすると、$F^\prime=3-14r+12r^2$、$F^{\prime\prime}=-14+24r<0$（$0<r\leqq\frac14$）である。
よって $F^\prime$ はこの区間で減少するが、右端でも $F^\prime(\frac14)=\frac14>0$ である。したがって $F$ は狭義増加で、最大値は $F(\frac14)=\frac14\cdot\frac34\cdot2=\frac38$ である。
比 $\frac S{T^2}$ の最小値は $\frac{4\sqrt3}{\frac38}=\frac{32\sqrt3}3$ で、$r=\frac14$、すなわち $x=\frac12$ のときに達成する。