2日本医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)

$5f(x)=4x^3-3x-1=(x-1)(2x+1)^2$ である。
よって零点は $x=1,-\frac12$ で、どちらも $-1\leqq x\leqq2$ の範囲内である。$x=-\frac12$ は重根だが値は一度だけ挙げる。

(2)

$f^\prime(x)=\frac{12x^2-3}5=\frac35(2x-1)(2x+1)$ である。
$[-1,-\frac12]$ で増加、$[-\frac12,\frac12]$ で減少、$[\frac12,2]$ で増加する。
$f(-1)=-\frac25$、$f(-\frac12)=0$、$f(\frac12)=-\frac25$、$f(1)=0$、$f(2)=5$ である。
これらの点と増減に従ってグラフを描く。定義域の両端は含むため黒丸とする。
(3)

$x=-\frac12$ を $g_k$ へ代入すると、
$$-\frac18-\frac{2k+3}{20}-\frac k5-\frac25=-\frac{12k+27}{40}=-\frac{3(4k+9)}{40}.$$
$x=1$ では $1-\frac{2k+3}5+\frac{2k}5-\frac25=0$ である。

(4)

共有点の $x$ 座標は $f(x)=g_k(x)$ を満たす。差を $5$ 倍して因数分解すると、
$$\begin{aligned} 5(g_k-f)&=x^3-(2k+3)x^2+(2k+3)x-1\\ &=(x-1)\{x^2-(2k+2)x+1\}. \end{aligned}$$$$5(g_k-f)=x^3-(2k+3)x^2+(2k+3)x-1$$$$=(x-1)\{x^2-(2k+2)x+1\}.$$
$k=0$ では $(x-1)^3$ なので $x=1$ だけで $N(0)=1$ である。
$k>0$ では $2$ 次因子の根は $u=k+1-\sqrt{k(k+2)}$、$v=k+1+\sqrt{k(k+2)}$ である。積 $uv=1$、和 $>2$ から $0<u<1<v$ であり、$x=1$ とも異なる。
$u$ は常に定義域 $[-1,2]$ 内である。$v$ が $2$ 以下となる条件は $k+1+\sqrt{k(k+2)}\leqq2$ である。
まず $k\leqq1$ が必要で、その下で $2$ 乗すると $k^2+2k\leqq(1-k)^2$、すなわち $k\leqq\frac14$ となる。この範囲なら確かに元の不等式も満たす。
したがって $0<k\leqq\frac14$ では $u,1,v$ の $3$ 共有点、$k>\frac14$ では $u,1$ の $2$ 共有点である。$k=\frac14$ の $v=2$ は定義域の端点として含める。