1日本医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

全ての $3$ 投の目の列は $6^3=216$ 通りで同確率である。
黒箱の合計は奇数の目だけの和である。$n_B=4$ となるには奇数が $1$ と $3$ の $2$ 回、残る $1$ 回が偶数でなければならない。
$1$ と $3$ と偶数の並べ方は $3!=6$ 通り、偶数の値が $3$ 通りなので $18$ 通りである。確率は $\frac{18}{216}=\frac1{12}$ である。

(2)

$n_B=3$ は、奇数が $1$ 回でその値が $3$ の場合と、$3$ 回とも $1$ の場合に分かれる。
前者は $3$ の位置が $3$ 通り、残り $2$ 回の偶数は各 $3$ 通りなので $27$ 通りである。後者は $(1,1,1)$ の $1$ 通りである。
合計 $28$ 通りで $\frac{28}{216}=\frac7{54}$ である。

(3)

$n_W=8$ は、偶数が $2$ 回で合計 $8$ となる場合と、$3$ 回とも偶数で合計 $8$ となる場合に分かれる。
$2$ 回の偶数の順序付き組は $(2,6),(6,2),(4,4)$ の $3$ 通りである。奇数の位置が $3$ 通り、その目が $3$ 通りなので $27$ 通りである。
$3$ 回とも偶数の場合は $(2,2,4)$ の並べ替え $3$ 通りである。よって合計 $30$ 通りで $\frac{30}{216}=\frac5{36}$ である。

(4)

$n_W=8$ の $30$ 通りのうち、$n_B\ne0$ となるのは奇数を $1$ 回含む $27$ 通りである。
したがって条件付き確率は $\frac{27}{30}=\frac9{10}$ である。