2新潟大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)

座標を$A=\frac1{\sqrt2}(1,1,1),B=\frac1{\sqrt2}(1,-1,-1),C=\frac1{\sqrt2}(-1,1,-1),D=\frac1{\sqrt2}(-1,-1,1)$とおくと、各辺の長さは$2$である。
$P=\frac1{\sqrt2}(1,0,0),R=\frac1{\sqrt2}(-1,0,0)$なので、$PR=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2$である。

(2)

上の座標で$S=\frac1{\sqrt2}(0,0,1)$である。$\overrightarrow{BS}=\frac1{\sqrt2}(-1,1,2),\overrightarrow{BR}=\frac1{\sqrt2}(-2,1,1)$なので、$\overrightarrow{BS}\cdot\overrightarrow{BR}=\frac52$、$|\overrightarrow{BS}|=|\overrightarrow{BR}|=\sqrt3$である。
よって、$\cos\angle SBR=\frac{\frac52}3=\frac56$である。

(3)

$T=\frac1{\sqrt2}(0,1,0),U=\frac1{\sqrt2}(0,-1,0),Q=\frac1{\sqrt2}(0,0,-1)$である。
底面$PTRU$は$z=0$上の、対角線がどちらも$\sqrt2$で直交する正方形だから、面積は$1$である。$Q$からの高さは$\frac1{\sqrt2}$であり、体積は$\frac13\times1\times\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}6$である。