1新潟大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

$BC$の方程式は$y=(a-1)x+a$で、直線と放物線の差は$(a-x)(x+1)$である。
よって、$S=\int_{-1}^a(a-x)(x+1)\,dx=\frac{(a+1)^3}6$、$T=\int_{-1}^ax^2\,dx=\frac{a^3+1}3$である。
$S=T$は$(a+1)^3=2(a^3+1)$、すなわち$(a+1)(a^2-4a+1)=0$である。$1\leqq a\leqq4$を満たすのは$2+\sqrt3$である。

(2)

$D=S-T=\frac{-a^3+3a^2+3a-1}6$である。$D^{\prime}(a)=\frac{-a^2+2a+1}2$なので、$1\leqq a\leqq1+\sqrt2$で増加し、その後$4$まで減少する。$D$の最大値は$a=1+\sqrt2$で$\frac{2(1+\sqrt2)}3$である。
端点は$D(1)=\frac23,D(4)=-\frac56$である。したがって、差を絶対値$|S-T|$と解釈しても、負の側の最大値$\frac56$より$\frac{2(1+\sqrt2)}3$の方が大きく、同じ$a=1+\sqrt2$が答えである。