3日本大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$\triangle\mathrm{ABC}$は$\angle\mathrm{A}=\dfrac{\pi}{2}$の直角三角形であり、$\mathrm{AB}=4$、$\mathrm{BC}=5$、$\mathrm{CA}=3$を満たしている。$\triangle\mathrm{ABC}$の内接円を$C_{1}$とし、その半径を$r_{1}$で表す。つぎに、円$C_{1}$と外接し、かつ、辺$\mathrm{BC}$および$\mathrm{CA}$の両方に接する円を$C_{2}$とし、その半径を$r_{2}$とする。以下、同様に、$n=1,\,2,\,3,\,\cdots$に対して、円$C_{n}$と外接し、辺$\mathrm{BC}$および$\mathrm{CA}$の両方に接する円を$C_{n+1}$とし、その半径を$r_{n+1}$とする。ただし、$r_{n+1}<r_{n}\,(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$とする。$\angle\mathrm{C}=\theta$とおくとき、以下の問いに答えなさい。

(1) $\tan\dfrac{\theta}{2}$の値を求めなさい。

(2) 数列$\{r_{n}\}$の一般項を求めなさい。

(3) 円$C_{n}$の面積を$S_{n}$で表すとき、$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}S_{n}$を求めなさい。