日本大学／2026年度／N方式第1期・二次

2日本大学 2026年数学第2問解答・解説

1問題

日本大学2026年度第2問

関数

f(x)=e^{-(\log x)^{2}}

に対して、原点を

\mathrm{O}

とする座標平面上に曲線

C:y=f(x)

を考える。ただし、

x>0

とする。

C

上の点

\mathrm{P}(x,\,f(x))

に対して、

\mathrm{P}

から

x

軸へ下ろした垂線を

\mathrm{PH}

とするとき、

\triangle\mathrm{OPH}

の面積を

S

とする。このとき、以下の問いに答えなさい。

(1)

S

の最大値を与える

x

の値と

S

の最大値を求めなさい。

(2) 曲線

C

の変曲点の座標をすべて求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$x=\sqrt e$ 、最大面積は $\frac{e^{\frac14}}2$ 。
(2)
$(e^{-1},e^{-1})$ 、 $(\sqrt e,e^{-\frac14})$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

u=\log x

は実数全体を動くので、

S=\frac{xf(x)}2=\frac12e^{u-u^2}=\frac12e^{\frac14-(u-\frac12)^2}

である。
指数は

u=\frac12

で最大値

\frac14

をとるので、

x=\sqrt e,S_{\max}=\frac{e^{\frac14}}2

となる。

(2)

f^{\prime}(x)=-\frac{2(\log x)e^{-(\log x)^2}}x

である。
さらに、

f^{\prime\prime}(x)=\frac{2e^{-(\log x)^2}(\log x+1)(2\log x-1)}{x^2}

である。
正の係数を除くと、

\log x+1

と

2\log x-1

が符号を決める。

x=e^{-1},\sqrt e

の前後でそれぞれ

f^{\prime\prime}

の符号が変わるので、両点が変曲点である。
各

x

を

f

に代入すると、答えの

y

座標を得る。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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