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日本大学／2026年度／N方式第1期・二次

1日本大学 2026年数学第1問解答・解説

1問題

日本大学2026年度第1問

つぎの定積分の値を求めなさい。

(1)

\displaystyle\int_{0}^{\log 2}e^{-2x}\,dx

(2)

\displaystyle\int_{1}^{e}x\log x\,dx

(3)

\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}}\dfrac{x+1}{x^{2}+1}\,dx

(4)

\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{8}}\sin^{2}x\cos 2x\,dx

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\frac38$ 。
(2)
$\frac{e^2+1}4$ 。
(3)
$\log2+\frac\pi3$ 。
(4)
$\frac{4\sqrt2-\pi-2}{32}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

\int_0^{\log2}e^{-2x}\,dx=[-\frac{e^{-2x}}2]_0^{\log2}=\frac{1-\frac14}2=\frac38

である。

(2)

部分積分により、

\int x\log x\,dx=\frac{x^2\log x}2-\frac{x^2}4

である。

1

から

e

で評価すると、

\frac{e^2}2-\frac{e^2}4+\frac14=\frac{e^2+1}4

となる。

(3)

\frac x{1+x^2}

の積分は

\frac{\log(1+x^2)}2

であり、

\frac1{1+x^2}

は

x=\tan t

と置換すると角度

t

の差となる。

0

から

\sqrt3

では、

\frac{\log4}2+\frac\pi3=\log2+\frac\pi3

である。

(4)

\sin^2x\cos2x=\frac12\cos2x-\frac14-\frac14\cos4x

である。
積分は

[\frac14\sin2x-\frac x4-\frac1{16}\sin4x]_0^{\frac\pi8}=\frac{\sqrt2}8-\frac\pi{32}-\frac1{16}

となる。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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