3日本大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1)

接点の横座標を $t$ とする。$f(x)=x^3-2x^2$ と接線との差は、$A$ を通り接点で重根を持つので $f(x)-l(x)=(x-\alpha)(x-t)^2$。
$x^2$ の係数比較より $\alpha+2t=2$、$t=\frac{2-\alpha}2$。$\alpha>\frac43$ より $t\ne\alpha$。
傾きは $f\prime(t)=3t^2-4t=\frac{(3\alpha+2)(\alpha-2)}4$、切片は $f(t)-tf\prime(t)=\frac{\alpha(2-\alpha)^2}4$。

(2)

$l$ の $x$ 切片は $c=\frac{\alpha(2-\alpha)}{3\alpha+2}$。$\frac43<\alpha<2$ では $0<c<\alpha$ で、$AB=\alpha^2(2-\alpha)$、$BC=\alpha-c=\frac{4\alpha^2}{3\alpha+2}$。
従って $S=\frac12AB\cdot BC=\frac{2\alpha^4(2-\alpha)}{3\alpha+2}$ となる。

(3)

$S=\frac{2\alpha^4(2-\alpha)}{3\alpha+2}$ を微分すると $S\prime=-\frac{8\alpha^3(3\alpha^2-2\alpha-4)}{(3\alpha+2)^2}$。
正の零点 $r=\frac{1+\sqrt{13}}3$ は $\frac43<r<2$ を満たす。$S\prime$ は $\alpha<r$ で正、$\alpha>r$ で負なので、この $r$ が区間内の最大値を与える。