2日本大学 2026年 数学 第2問解答・解説

座標平面上に放物線$y=\dfrac{1}{2}x^{2}$および円$C$がある。いま、$a$、$b$をともに正の数として、円$C$は以下の（条件1）と（条件2）を満たしているとする。

（条件1）円$C$は$(0,\,a)$を中心とし、放物線$y=\dfrac{1}{2}x^{2}$と点$\mathrm{A}\left(b,\,\dfrac{1}{2}b^{2}\right)$を共有する。

（条件2）円$C$と放物線$y=\dfrac{1}{2}x^{2}$は、点A において共通の接線をもつ。

ここで、点Aにおいて共通の接線をもつとは、円$C$の点Aにおける接線と、放物線$y=\dfrac{1}{2}x^{2}$の点Aにおける接線が一致することを意味する。このとき、以下の問いに答えなさい。

(1) （条件1）と（条件2）から、$b^{2}$を$a$を用いて表しなさい。

(2) さらに、円$C$は円$x^{2}+(y-1)^{2}=1$に外接するとき、$a$と$b$の値を求めなさい。