3日本大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$xy$ 平面上の原点Oを中心とする半径1の円をCとする。Cの第1象限内の点 $\mathrm{P}(x_0,y_0)$ における円Cの接線を $\ell_0$ とし、第4象限内の点 $\mathrm{Q}(x_1,y_1)$ における円Cの接線を $\ell_1$ とし、$\angle\mathrm{POQ}=\dfrac{\pi}{2}$ を満たすとする。$\ell_0$ と $\ell_1$ の交点をA、$\ell_0$ と $y$ 軸との交点をB、$\ell_1$ と $y$ 軸との交点をCとする。また、$x_0=\cos\theta,y_0=\sin\theta\ \left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ と表す。以下の問いに答えなさい。

(1) A、B、Cの座標を $\theta$ を用いて表しなさい。

(2) 三角形ABCの面積をSとするとき、Sを $\theta$ を用いて表しなさい。

(3) (2)のSの最小値を与える $\theta$ の値とSの最小値を求めなさい。