2日本大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1)

放物線の導関数は $\frac{\sqrt3}3x$ なので、$A$ での接線の傾きは $\frac{\sqrt3}3$ である。点と傾きによる式から $\ell$ の式を得る。
垂線 $m$ の傾きはその負の逆数 $-\sqrt3$ であり、$A$ を通る条件から切片は $\frac{7\sqrt3}6$ となる。

(2)

$m$ と $y$ 軸の交点は $B=(0,\frac{7\sqrt3}6)$ である。
$AB^2=1^2+(\frac{\sqrt3}6-\frac{7\sqrt3}6)^2=1+3=4$ なので、半径は $2$ である。

(3)

円の下側の弧は $y=\frac{7\sqrt3}6-\sqrt{4-x^2}$ である。
放物線を円の式へ代入すると $\frac{(x^2-1)^2}{12}=0$ となり、接点の $x$ 座標は $\pm1$ である。$-1<x<1$ では放物線が下側の弧より下にあり、その間が指定の囲まれた図形である。
面積は、
$$S=\int_{-1}^1\left\{\frac{7\sqrt3}6-\sqrt{4-x^2}-\frac{\sqrt3}6x^2\right\}\,dx.$$
$\int_{-1}^1\sqrt{4-x^2}\,dx=\sqrt3+\frac{2\pi}3$ である（半径 $2$ の円弓、または $x=2\sin\theta$ の置換による）。
したがって $S=\frac{7\sqrt3}3-\sqrt3-\frac{2\pi}3-\frac{\sqrt3}9=\frac{11\sqrt3}9-\frac{2\pi}3$ である。