1日本大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1)

交点は $kx+1=\frac2x$、すなわち $kx^2+x-2=0$ を満たす。
$k>0$ で一方の根が正、他方が負なので、$x>0$ により正根 $\frac{-1+\sqrt{1+8k}}{2k}$ を選ぶ。

(2)

$P=(t,\frac2t)$、$t>0$ とおくと、$k=\frac{2-t}{t^2}>0$ なので $0<t<2$ である。
$OP^2=t^2+\frac4{t^2}\geqq2\sqrt4=4$ となる。等号は $t^2=\frac4{t^2}$、$t=\sqrt2$ のときであり、この値は区間内にある。
したがって $OP$ の最小値は $2$ で、対応する $k=\frac{2-\sqrt2}2=1-\frac{\sqrt2}2$ である。