3日本大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1)

$y=-2x+k$ を楕円に代入すると $40x^2-36kx+9k^2-36=0$。
判別式は $(36k)^2-160(9k^2-36)=144(40-k^2)$ なので、共有点条件は $k^2\leqq40$。
$k=2\sqrt{10}$ では重解 $x=\frac{36k}{80}=\frac{9k}{20}$、$y=k-2x=\frac k{10}$ より $A$ の座標を得る。

(2)

前の二次方程式の解の和は $\frac{36k}{40}=\frac{9k}{10}$ なので、$P$ の $x$ 座標は $\frac{9k}{20}$、直線式から $y=\frac k{10}$。
垂直な直線は傾き $\frac12$ で、$P$ を通るため $y=\frac x2-\frac k8$。
楕円に代入し両辺144倍すると $25x^2-\frac{9k}2x+\frac{9k^2}{16}-144=0$。
二交点の $x$ 座標の平均は $\frac12\cdot\frac{\frac{9k}2}{25}=\frac{9k}{100}$。$y$ も直線上で平均されるので $y_Q=\frac12\cdot\frac{9k}{100}-\frac k8=-\frac{2k}{25}$。
なお $P$ では $\frac{x_P^2}{9}+\frac{y_P^2}{4}=\frac{k^2}{40}<1$ であり、$P$ は楕円内部にある。
したがって $P$ を通る垂線は楕円と相異なる2点で交わる。

(3)

$K=\mathrm{Max}=2\sqrt{10}$ とおく。
(2)より $Q-P=-\frac{9k}{50}(2,1)$ だから
$$PQ=\frac{9|k|\sqrt5}{50}.$$
$P,Q$ を通る直線は $y=\frac x2-\frac k8$、すなわち $x-2y-\frac k4=0$ である。
$A=(\frac{9K}{20},\frac K{10})$ からこの直線への距離は
$$h=\frac{|\frac{9K}{20}-\frac K5-\frac k4|}{\sqrt5} =\frac{|K-k|}{4\sqrt5}.$$
よって底辺と高さから
$$S=\frac12PQ\cdot h=\frac{9|k(k-K)|}{400}.$$
$0\leqq k\leqq K$ の範囲で座標式を用いて表せば
$$S=\frac9{400}k(K-k) =\frac9{400}\left\{\frac{K^2}{4}-\left(k-\frac K2\right)^2\right\}.$$
最大値は $k=\frac K2=\sqrt{10}$ で
$$\boxed{S_{\max}=\frac{9K^2}{1600}=\frac9{40}}.$$

$k=0$ でも $P=Q=O$ となって面積0である。