2日本大学 2023年 数学 第2問解答・解説

曲線 $y=x^4$ 上の点列 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\cdots,P_n(x_n,y_n),\cdots$ を考える。ただし、$1=x_1<x_2<\cdots<x_n<\cdots$ とする。原点を $O$ として、線分 $OP_1$ と曲線の弧 $OP_1$ とで囲まれる部分の面積を $S_1$ とし、また、線分 $OP_{n-1}$ と線分 $OP_n$ と曲線の弧 $P_{n-1}P_n$ とで囲まれる部分の面積を $S_n\ (n=2,3,\cdots)$ とする。以下の問いに答えなさい。

(1) $S_1$ を求めなさい。

(2) $n=2,3,\cdots$ に対して、$S_n$ を $x_n$ と $x_{n-1}$ を用いて表しなさい。

(3) $S_1,S_2,\cdots,S_n,\cdots$ が公比 $\dfrac{31}{32}$ の等比数列になっているとする。$n$ が限りなく大きくなるとき、点 $P_n$ はある点に限りなく近づくが、その点の座標を求めなさい。