5奈良県立医科大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) 因数分解

$x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2$ なので、平方の差を用いて
$$x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1).$$
各因子は2次式で、展開しても元の式に一致する。

(2) 和の上界

(1)の因数分解から
$$\frac{k}{k^4+k^2+1}=\frac12\left(\frac1{k^2-k+1}-\frac1{k^2+k+1}\right).$$
$k^2+k+1=(k+1)^2-(k+1)+1$ なので、$k=1$ から $n$ まで和をとると隣接する項が消える。
$$\sum_{k=1}^n\frac{k}{k^4+k^2+1} =\frac12\left(1-\frac1{n^2+n+1}\right)<\frac12.$$
最後の分数は正なので厳密な不等号になる。