3奈良県立医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ。$xyz$空間の原点を$\mathrm{O}$とする。空間内の2点$\mathrm{P}(0,\,1,\,1)$、$\mathrm{Q}(1,\,0,\,-1)$を通る直線を$l$とする。

(1) 点$\mathrm{R}(x,\,y,\,z)$が直線$l$上を動くとき、ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+t\overrightarrow{\mathrm{QP}}$と表す。このとき、$x$、$y$、$z$は$t$の1次式として$x=\boxed{ア}$、$y=\boxed{イ}$、$z=\boxed{ウ}$と表せる。$l$を$z$軸のまわりに1回転させてできる曲面を$S$とする。

(2) 曲面$S$と平面$z=\boxed{ウ}$との交わりは円であり、その半径は$\boxed{エ}$である。

(3) 曲面$S$の$z\geqq 0$の部分と平面$z=0$で囲まれた部分を内側とする容器を考える。初め空であったこの容器に単位時間あたり$V$の割合で水を注入する。高さ$h$まで容器に水が入ったとすると、それに要した時間は$V$と$h$を用いて$\boxed{オ}$と表される。