奈良県立医科大学／2023年度／推薦

4奈良県立医科大学 2023年数学第4問解答・解説

1問題

奈良県立医科大学2023年度第4問

以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ。項数200の等差数列

a_{1},\,\cdots,\,a_{200}

を考える。

a_{3}=14

、

a_{8}=29

である。

(1) この数列の第5項は

a_{5}=\boxed{ア}

、末項は

a_{200}=\boxed{イ}

であり、すべての項を足した値は

a_{1}+\cdots+a_{200}=\boxed{ウ}

である。

(2)

k

が10の倍数であるような

a_{k}

をすべて足した値は

a_{10}+a_{20}+\cdots+a_{200}=\boxed{エ}

である。また、10の倍数でも15の倍数でもないような

k

について、

a_{k}

をすべて足した値は

a_{1}+\cdots+a_{9}+a_{11}+\cdots+a_{14}+a_{16}+\cdots+a_{199}=\boxed{オ}

である。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

(1) 空欄ア・イ・ウ

公差を

d

とすると

5d=a_{8}-a_{3}=15

なので

d=3

。初項a₁=14−2·3=8、一般項aₖ=3k+5。従ってa₅=20、a₂₀₀=605、全200項の和は

\frac{200(8+605)}2=61300

。

(2) 空欄エ・オ

10の倍数の添字は10j（j=1,…,20）だから、その項の和は

\sum_{j=1}^{20}(30j+5)=30\cdot210+5\cdot20=6400

。
15の倍数の添字は15j（j=1,…,13）で、その項の和は45·91+5·13=4160。
10と15の両方の倍数は30の倍数で、30j（j=1,…,6）の項の和は90·21+5·6=1920。
従ってどちらの倍数でもない添字の項の和は、包除原理で

61300-6400-4160+1920=52660.

末尾200は10の倍数なので除かれる。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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