2奈良県立医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) 空欄ア・イ

$n=2$ では $k=l$ の2項は各 $\frac12$、$k\ne l$ の2項は各 $1$ なので、$S(2)=1+2=3$。
$n=3$ では $|k-l|=0$ の3項が各 $\frac13$、差の絶対値 $1$ の4項が各 $\frac12$、差の絶対値 $2$ の2項が各 $1$。従って $S(3)=1+2+2=5$。

(2) 空欄ウ

$0\leqq a\leqq n-1$ で $k-l=a$ なら、
$$(k,l)=(a+1,1),(a+2,2),\ldots,(n,n-a)$$
の $n-a$ 組があり、各項は $\frac1{n-a}$。従って総和は $1$。$a=0$ の場合も $n$ 組が各 $\frac1n$ であり同じである。

(3) 空欄エ

差 $k-l$ は $-(n-1),\ldots,-1,0,1,\ldots,n-1$ の $2n-1$ 種類。(2)から非負の各差に属する項の和は $1$。負の差も $k$ と $l$ の交換で対応する正の差と同じ和 $1$ を与える。これらは全 $n^2$ 項を重複なく分類しているから $S(n)=2n-1$。$n=1$ も $1$ で成立する。