1奈良県立医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

空欄ア・イ・ウ

共有点の $x$ 座標は
$$2x^2+(a-b)x+\frac12=0$$
を満たす。1点で接するため判別式が $0$、従って $(a-b)^2-4=0$。$a>b$ により $a-b=2$、すなわち $a=b+2$。
重解は $x=-\frac{a-b}{4}=-\frac12$ である。
もし接点が極値位置なら、放物線 $y=-x^2+bx$ の頂点の $x$ 座標 $\frac b2$ が $-\frac12$ に等しいから $b=-1$。接点では2本の接線は一致するので、片方が水平なら両方が水平であり、実際 $a=1$ で他方の頂点も $-\frac a2=-\frac12$ となる。