4聖マリアンナ医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1)

$f(x)=mx$ は $x(x^2-4x+3-m)=0$ となる。正の $2$ 根 $x_1<x_2$ は $2$ 次方程式 $x^2-4x+3-m=0$ の根である。
異なる実根の条件は判別式 $16-4(3-m)=4(1+m)>0$、すなわち $m>-1$ である。
根の和は $4>0$ なので、両根が正となる必要十分条件は積 $3-m>0$、すなわち $m<3$ である。
よって範囲は $-1<m<3$ である。

(2)

解と係数の関係により $x_1+x_2=4$、$x_1x_2=3-m$ である。
$$\begin{aligned} x_1^2+x_2^2&=16-2(3-m)=2m+10,\\ x_1^3+x_2^3&=64-3(3-m)\cdot4=12m+28,\\ x_1^4+x_2^4&=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2\\ &=(2m+10)^2-2(3-m)^2=2m^2+52m+82. \end{aligned}$$$$x_1^2+x_2^2=16-2(3-m)=2m+10,$$$$x_1^3+x_2^3=64-3(3-m)\cdot 4=12m+28,$$$$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2{)}^2-2(x_1{x}_2{)}^2$$$$=(2m+10{)}^2-2(3-m{)}^2=2m^2+52m+82.$$

(3)

(4) で面積を積分して求めると、$S_1:S_2=1:2$ の必要十分条件は $m=\frac{8\sqrt3-15}3$ となる。
この値は約 $-0.3812$ で $-1<m<3$ を満たす。

(4)

$d=\sqrt{1+m}$ とおくと $0<d<2$、$x_1=2-d$、$x_2=2+d$ である。
曲線と直線の差は $H(x)=f(x)-mx=x\{(x-2)^2-d^2\}$ であり、$0<x<x_1$ で正、$x_1<x<x_2$ で負である。
原始関数は $F(x)=\frac{x^4}4-\frac{4x^3}3+\left(2-\frac{d^2}2\right)x^2$ である。
したがって $S_1=F(2-d)-F(0)=-\frac{d^4}4+\frac{4d^3}3-2d^2+\frac43$ である。
一方 $u=x-2$ とおくと、
$$S_2=-\int_{-d}^d(u+2)(u^2-d^2)\,du=\frac{8d^3}3$$
である（奇関数部分の積分は $0$）。
$S_1:S_2=1:2$ は $S_2=2S_1$ と同値なので、
$$\frac{8d^3}3=-\frac{d^4}2+\frac{8d^3}3-4d^2+\frac83 \quad\Longleftrightarrow\quad3d^4+24d^2-16=0.$$
$z=d^2>0$ とおいて $3z^2+24z-16=0$ を解くと、$z=-4\pm\frac{8\sqrt3}3$ となる。
このうち正なのは $z=-4+\frac{8\sqrt3}3$ のみであり、$0<z<4$ を満たす。
よって $m=d^2-1=-5+\frac{8\sqrt3}3=\frac{8\sqrt3-15}3$ である。
この $z$ から得られる $S_1,S_2$ はいずれも正であるため、面積比の条件にも確かに一致する。