3聖マリアンナ医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1)

$f^\prime(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x-2)(x+1)$ である。
$A=[-1,3]$ では $-1<x<0$ で正、$0<x<2$ で負、$2<x<3$ で正である。よって内部の極大は $x=0$ で、極大値は $f(0)=0$ である。
端点と極値候補の値は $f(-1)=-5$、$f(0)=0$、$f(2)=-32$、$f(3)=243-108-108=27$ である。
したがって最大値は $27$（$x=3$）、最小値は $-32$（$x=2$）である。

(2)

$A\cup B=[-2,3]$ である。導関数の符号は (1) と同じで、追加の左端 $x=-2$ では $f(-2)=48+32-48=32$ である。
区間全体の最小値は $-32$（$x=2$）、最大値は $32$（$x=-2$）である。
$f$ は連続なのでその間の値をすべてとり、必要十分な $y$ の範囲は $-32\leqq y\leqq32$ である。

(3)

条件は $y\in f(A)$ または $y\in f(B)$、すなわち $f(A)\cup f(B)$ への所属である。
(1) から $f(A)=[-32,27]$ である。$B=[-2,1]$ では端点・停留点の値が $f(-2)=32$、$f(-1)=-5$、$f(0)=0$、$f(1)=-13$ であり、連続性から $f(B)=[-13,32]$ である。
和集合は $[-32,32]$ なので、$-32\leqq y\leqq32$ である。これは一般に $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$ であることとも一致する。

(4)

$A\cap B=[-1,1]$ である。この区間での候補値は $f(-1)=-5$、$f(0)=0$、$f(1)=-13$ である。
$-1$ から $0$ まで増加、$0$ から $1$ まで減少するので、最小値は $-13$、最大値は $0$ である。連続性より $f(A\cap B)=[-13,0]$ である。
したがって条件は $-13\leqq y\leqq0$ である。

(5)

条件では同じ $x$ を要求せず、$A$ 側の $x_1$ と $B$ 側の $x_2$ が別々に存在すればよい。したがって必要十分条件は $y\in f(A)\cap f(B)$ である。
(3) の値域を用いて $[-32,27]\cap[-13,32]=[-13,27]$ となる。
よって $-13\leqq y\leqq27$ である。