2聖マリアンナ医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1)

二項定理より
$$\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n =\sum_{j=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_{j}\left(\frac{\sqrt5}2\right)^j\left(\frac12\right)^{n-j}.$$
偶数 $j=2k$ の項は有理数で、その範囲は $0\leqq k\leqq\left[\frac n2\right]$ である。これが $a_n$ なので $A=\left[\frac n2\right]$、選択肢 ⓑ である。
奇数 $j=2k+1$ の項から $\sqrt5$ をくくると、係数は
$${}_{n}\mathrm{C}_{2k+1}\left(\frac{\sqrt5}2\right)^{2k}\left(\frac12\right)^{n-2k}.$$
範囲は $0\leqq2k+1\leqq n$、すなわち $0\leqq k\leqq\left[\frac{n-1}2\right]$ である。よって $B$ は選択肢 ⓐ である。

(2)

二項展開で $\sqrt5$ を $-\sqrt5$ に置き換えると、偶数次の項は変わらず、奇数次の項の符号だけが反転する。
したがって $\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n=a_n-b_n\sqrt5$ である。
有理数係数による $1$ と $\sqrt5$ の表現は一意である。実際、異なる表現があればその差から $\sqrt5$ が有理数になってしまう。
よって $c_n=a_n$、$d_n=-b_n$ である。

(3)

$p=\frac{1+\sqrt5}2$、$q=\frac{1-\sqrt5}2$ とおくと、$a_n+b_n\sqrt5=p^n$、(2) より $a_n-b_n\sqrt5=q^n$ である。
両式を加えて $a_n=\frac{p^n+q^n}2$、引いて $b_n=\frac{p^n-q^n}{2\sqrt5}$ となる。
したがって指定の係数は シ $=$ ス $=\frac12$、セ $=$ ソ $=\frac1{2\sqrt5}$ である。

(4)

(3) から
$$\frac{a_n}{b_n}=\sqrt5\frac{p^n+q^n}{p^n-q^n} =\sqrt5\frac{1+\left(\frac qp\right)^n}{1-\left(\frac qp\right)^n}.$$
$p>1$、$|q|<1$ なので $\left|\frac qp\right|<1$ であり、$\left(\frac qp\right)^n\to0$ となる。
よって極限は $\sqrt5$ である。$b_n$ は (1) の正の項の和なので、各 $n$ で分母が $0$ となる問題はない。