1聖マリアンナ医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1)

各面は3辺をもち、各辺は2面に共有される。辺の本数は
$$\frac{20\cdot3}{2}=30$$
である。
頂点数は、Eulerの関係を引用せず、平面の三角形の角の和を数えて求める。
正二十面体は凸なので、ある1面の十分近い外側の点から、その面の平面へ残りの面を投影する。投影の中心はその面の内部に向かい、他の面の外側には出ない位置を選ぶ。
すると、外周が選んだ面の三角形で、内部を残り19個の三角形が重なりなく埋める平面図となる。凸性により各内部の視線は反対側の表面にただ1回到達し、辺は直線に映るため、この分割が成り立つ。
投影後の三角形は正三角形とは限らないが、各内角の和は $\pi$ である。
頂点数を $V$ とすると、平面図の内部頂点は $V-3$ 個で、各頂点の周囲の角の和は $2\pi$ である。
外周の3頂点に集まる角の総和は外周の三角形の内角の和 $\pi$ であるから
$$19\pi=2\pi(V-3)+\pi.$$
これを解くと $V=12$ である。従ってアは $12$、イは $30$ となる。

(2)

$P_0P_1$ の方向ベクトルは $\vec v=(-2,-1,2)$ である。直線上の点は $(1,1,2)+t\vec v=(1-2t,1-t,2+2t)$ と表せる。
$z=0$ なら $t=-1$ であり、共有点は $(3,2,0)$ である。
原点から直線上の点までの距離の $2$ 乗は
$$(1-2t)^2+(1-t)^2+(2+2t)^2 =9t^2+2t+6=9\left(t+\frac19\right)^2+\frac{53}9.$$
$t=-\frac19$ で最小となり、ここが垂足 $H$ である。したがって $OH=\sqrt{\frac{53}9}=\frac{\sqrt{53}}3$ である。

(3)

$\theta=\frac{3\pi}{10}$ なので、$3\theta=\frac{9\pi}{10}$、$2\theta=\frac{3\pi}5$ である。
$\sin3\theta=\sin\frac\pi{10}$、$\cos2\theta=-\sin\frac\pi{10}$ だから、和は $0$ である。
$s=\sin\theta$ とおいて $3$ 倍角・$2$ 倍角の公式を用いると、$3s-4s^3+1-2s^2=0$、すなわち $4s^3+2s^2-3s-1=0$ となる。
因数分解して $(s+1)(4s^2-2s-1)=0$ である。
$0<\theta<\frac\pi2$ より $s>0$ なので、$s=-1$ と $\frac{1-\sqrt5}4$ は不適であり、$s=\frac{1+\sqrt5}4$ となる。