白衣のものさし関西医科大学／2023年度／後期
2関西医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説
1問題
関西医科大学2023年度第2問
2つの関数を、とおく。をで割ったときの商を、余りをとするとき、以下の設問に答えよ。
(1) におけるの値域を求めよ。
(2) とを求めよ。
(3) を求めよ。
(4) 円周率がより小さいことを証明せよ。
(1) におけるの値域を求めよ。
(2) とを求めよ。
(3) を求めよ。
(4) 円周率がより小さいことを証明せよ。
まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。
タイマー
15:00
2答え
答えを見る自分の答えと照らし合わせる
- (1)
- (2)
- (3)
- (4)
3解答
解答を見る途中式つきの解答
解答
(1) t=x² (0≦t≦1) とすると f=t(t−1)² であり，f'(t)=(3t−1)(t−1)。端点で0，内部臨界点t=1/3で4/27だから，値域は[0,4/27]。
(2) z=x²とおけばf=z³−2z²+z=(z+1)(z²−3z+4)−4。よってQ=x⁴−3x²+4，R=−4。
(3) ∫₀¹R/g(x)dx=−4∫₀¹dx/(1+x²)=−4[arctan x]₀¹=−π。
(4) t>0に対して 1/(1+t²)=1−t²+t⁴−t⁶/(1+t²) より arctan t<t−t³/3+t⁵/5。さらに arctan(1/2)+arctan(1/3)=π/4 である。従って π/4 < (1/2−1/24+1/160)+(1/3−1/81+1/1215)=30575/38880<4/5（30575<31104）。よってπ<16/5=3.2。
(2) z=x²とおけばf=z³−2z²+z=(z+1)(z²−3z+4)−4。よってQ=x⁴−3x²+4，R=−4。
(3) ∫₀¹R/g(x)dx=−4∫₀¹dx/(1+x²)=−4[arctan x]₀¹=−π。
(4) t>0に対して 1/(1+t²)=1−t²+t⁴−t⁶/(1+t²) より arctan t<t−t³/3+t⁵/5。さらに arctan(1/2)+arctan(1/3)=π/4 である。従って π/4 < (1/2−1/24+1/160)+(1/3−1/81+1/1215)=30575/38880<4/5（30575<31104）。よってπ<16/5=3.2。
読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。
答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。
関西医科大学の数学を、過去 10 年分まとめて解けるものがあったら使いたいですか？