関西医科大学 2023年数学第1問解答・解説

1問題

関西医科大学2023年度第1問

青玉が4個、赤玉が4個、白玉が1個、黒玉が1個入っている袋がある。Aさんは袋から玉を1つ無作為に取り出し、その玉の色をある装置に入力する。この装置は入力された色の情報を離れた場所のBさんに伝達する。この装置の内部では、下の表に示すように4つの色の情報をそれぞれコードと呼ばれる0か1で表された2桁の数値に変換して伝達している。装置がこのコードを伝達するときには、0か1かのどちらかの数値を上位の桁から順に伝達するが、数値を1つ伝達するたびに一定の確率（20%）で、0を1や1を0のように間違って伝達してしまうとき、以下の確率を求めよ。各設問の答えは百分率(%)で表し、必要があれば小数第1位を四捨五入して答えよ。

\begin{array}{|c|c|} \hline \text{色} & \text{コード} \\ \hline \text{青} & 00 \\ \text{赤} & 01 \\ \text{白} & 10 \\ \text{黒} & 11 \\ \hline \end{array}

(1) 「青」と入力された色の情報が正しく「青」と伝達される確率

(2) 「赤」と入力された色の情報が間違って「白」と伝達される確率

(3) Bさんに伝達された色の情報が「黒」である確率

(4) Bさんに伝達された色の情報が「黒」であるときに、Aさんが取り出したのが黒玉である条件付き確率

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 青が正しく青
$64\%$ 。
(2) 赤が白と誤伝達
$4\%$ 。
(3) 黒と伝わる確率
$16\%$ 。
(4) 黒と伝わった下で実際に黒球
$40\%$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) 青が正しく青

青のコード

00

が青のまま伝わるには2桁とも誤らないことが必要。各桁が正しい確率は

\frac45

なので、

(\frac45)^2=\frac{16}{25}=64\%

。

(2) 赤が白と誤伝達

赤の

01

が白の

10

になるには2桁とも反転するので、

(\frac15)^2=\frac1{25}=4\%

。入力が赤である条件の下の伝達確率であり、赤玉を取る確率は掛けない。

(3) 黒と伝わる確率

出力

11

への入力

00,01,10,11

からの伝達確率は、順に

\frac1{25},\frac4{25},\frac4{25},\frac{16}{25}

。入力確率は順に

\frac4{10},\frac4{10},\frac1{10},\frac1{10}

なので、和は

\frac{4+16+4+16}{250}=\frac{40}{250}=\frac4{25}=16\%

。

(4) 黒と伝わった下で実際に黒球

黒玉を取り、かつ黒と伝わる同時確率は

\frac1{10}\cdot\frac{16}{25}=\frac{16}{250}

。(3)の

\frac{40}{250}

で割ると、条件付き確率は

\frac{16}{40}=\frac25=40\%

。全て整数の百分率なので丸めは不要。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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