4関西医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) 直角三角形になるt

$\overrightarrow{AB}=(3,-3,0)$、$\overrightarrow{AC}=(t-1,2t-5,t-1)$、$\overrightarrow{BC}=(t-4,2t-2,t-1)$。
$A$ が直角なら $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12-3t=0$ より $t=4$。
$B$ が直角なら $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=3t+6=0$ より $t=-2$。
$C$ が直角なら $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=6t^2-21t+15=3(2t-5)(t-1)=0$ より $t=1,\frac52$。
いずれでも $C$ は $A,B$ と異なり、指定した2辺は非零かつ垂直なので、非退化な直角三角形となる。

(2) 4点の共面条件

$\overrightarrow{AD}=(0,1,1)$。$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ は平行でないので、$C$ が平面 $ABD$ 上にある必要十分条件は $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}$。
成分から $t-1=3\lambda,2t-5=-3\lambda+\mu,t-1=\mu$。代入すると $2t-5=-(t-1)+(t-1)=0$ より $t=\frac52$。逆に、この値で $\lambda=\frac12,\mu=\frac32$ が成立する。

(3) 四面体の体積

$\angle BAC=90^\circ$ より $t=4$、$\overrightarrow{AC}=(3,3,3)$。底面積は $\frac{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}2=\frac{(3\sqrt2)(3\sqrt3)}2=\frac{9\sqrt6}2$。
平面の法線として $\vec n=(1,1,-2)$ を取れる。$\overrightarrow{AD}=(0,1,1)$ に対して $\vec n\cdot\overrightarrow{AD}=-1$ なので、高さは $\frac1{\sqrt6}$。
体積は $\frac13\cdot\frac{9\sqrt6}2\cdot\frac1{\sqrt6}=\frac32$。