3関西医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) $t$の範囲

全ての$k=1,\,2,\,3,\,4$に対して$kt>0$かつ$146-30kt>0$が必要十分である。前者は$t>0$、後者は最も厳しい$k=4$から$t<\dfrac{146}{120}=\dfrac{73}{60}$となる。

(2) 4点が一直線上にあること

$\mathrm{P}_{0}(0,\,0,\,146)$とおくと、$\overrightarrow{\mathrm{P}_{0}\mathrm{P}_{k}}=kt(1,\,1,\,-30)$である。すべての$\mathrm{P}_{k}$は、点$\mathrm{P}_{0}$から方向ベクトル$(1,\,1,\,-30)$の実数倍の位置にあるので、同一直線上にある。

(3) 表面積$S$

$h_{k}=146-30kt$とおく。底面は一辺$4t$の正方形で面積は$16t^{2}$である。上面は四つの正方形の環状部分（最内は正方形）からなり、その水平面積の和も$16t^{2}$である。水平面の合計は$32t^{2}$となる。
$x=0$側の縦面は、$y$が$(k-1)t\leqq y\leqq kt$の範囲で高さ$h_{k}$なので、面積は$t\displaystyle\sum_{k=1}^{4}h_{k}=584t-300t^{2}$である。$y=0$側も同じである。
正の$x$方向の段差面は、$k=1,\,2,\,3$で幅$kt$、高さ$h_{k}-h_{k+1}=30t$である。最外の$k=4$は幅$4t$、高さ$h_{4}$である。合計は$30t^{2}(1+2+3)+4t(146-120t)=584t-300t^{2}$である。正の$y$方向も同じである。
総和は$32t^{2}+4(584t-300t^{2})=2336t-1168t^{2}$である。内部で接する面を含めず、外部へ露出する面だけを数える。

(4) 最大の$t$と$z$座標

$S=1168\left\{1-(t-1)^{2}\right\}$である。許容区間$0<t<\dfrac{73}{60}$は$t=1$を含むので、この点で唯一の最大値を取る。$\mathrm{P}_{1}$の高さは$146-30t=116$である。