2岩手医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

円の平方完成と中心間距離で位置関係を定める。接線の傾きは半径との垂直性から求め、外公切線の交点を半径比で定まる外相似の中心として扱う。接線長は三平方の定理、反射後の弦は中心線方向への射影と垂直性を使って決定する。

問1　 円Cの式を平方完成すると
$$(x-3)^2+(y+1)^2=4$$
となるので，中心は $A(3,-1)$，半径は2である。$B(-1,2)$ だから
$$AB=\sqrt{(-1-3)^2+(2+1)^2}=5.$$
円Cと円Dは外接するので，円Dの半径は $5-2=3$ である。また，接点Tは線分AB上にあり，$AT:TB=2:3$ だから
$$T=A+\frac25(B-A)=(3,-1)+\frac25(-4,3)=\left(\frac75,\frac15\right).$$

問2　 中心を結ぶ直線ABの傾きは $-\frac34$ である。接点Tにおける接線$\ell$は半径ATに垂直なので，その傾きは $\frac43$ となる。Tを通るから
$$y-\frac15=\frac43\left(x-\frac75\right),\qquad y=\frac43x-\frac53.$$

問3　 $\ell$以外の2本の共通接線m,nは，両円の同じ側に接する外公切線である。その交点Pは，2直線m,nが作る同じ角の二等分線上に両中心A,Bが並ぶことから，A,Bと一直線上にある。また，中心からそれぞれの接線までの距離は半径に等しく，角の二等分線上ではその距離はPからの距離に比例するので
$$PA:PB=2:3.$$
Pは線分ABの外にあり，PB>PAであるから $PB-PA=AB=5$。よって $PA=10,\ PB=15$ である。AからBへのベクトルは $B-A=(-4,3)$ なので，PはAからBと反対向きに距離10だけ進んだ点であり
$$P=A-2(B-A)=(3,-1)-2(-4,3)=(11,-7).$$
直角三角形PAQ，PBRより，m上の接点までの距離は
$$PQ=\sqrt{PA^2-AQ^2}=\sqrt{10^2-2^2}=4\sqrt6, \qquad PR=\sqrt{PB^2-BR^2}=\sqrt{15^2-3^2}=6\sqrt6.$$
外公切線上でQ,RはPから同じ向きに並ぶので，$QR=PR-PQ=2\sqrt6$ である。
問4　 $\vec{e}=\frac{B-A}{AB}=\left(-\frac45,\frac35\right)$ とする。PはAを越えてBと反対側にあり，$\overrightarrow{BP}=-15\vec{e}$ である。三角形PBRはRで直角だから，$\overrightarrow{BR}$ の $\overrightarrow{BP}$ 方向への射影の長さは
$$\frac{BR^2}{PB}=\frac9{15}=\frac35.$$
$\overrightarrow{BP}$ の向きは $-\vec{e}$ なので，$\overrightarrow{BR}$ のAB方向の成分は $-\frac35\vec{e}$ である。SはRをABについて対称移動した点であるから，線分RSの中点MはAB上にあり，$M=B-\frac35\vec{e}$ となる。よって
$$M=(-1,2)-\frac35\left(-\frac45,\frac35\right)=\left(-\frac{13}{25},\frac{41}{25}\right).$$
RSはABに垂直である。ABの傾きは $-\frac34$ だから，RSの傾きは $\frac43$ であり，Mを通る直線の切片は
$$\frac{41}{25}-\frac43\left(-\frac{13}{25}\right)=\frac73.$$
したがって，直線RSの方程式は
$$y=\frac43x+\frac73$$
である。
検算　 問1で $AT=2$，$BT=3$ となり，半径の和は中心間距離5に一致する。問3では $PQ^2+AQ^2=96+4=100=PA^2$，$PR^2+BR^2=216+9=225=PB^2$ である。また問4の直線の傾き $\frac43$ とABの傾き $-\frac34$ の積は $-1$ で，両直線は垂直である。