5愛知医科大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1) 正四面体の高さ

正三角形ABCの重心かつ外心がHである。$AM=3\sqrt{3}$、$AH=\frac23AM=2\sqrt3$、$AD=6$より、直角三角形ADHで
$DH=\sqrt{36-12}=2\sqrt6$。

(2) PMの最小値

平面ADHはMも含み、Aを横座標0、Mを$3\sqrt{3}$、Hを$2\sqrt{3}$、底面ABCを高さ0とする直交座標で$E=(2\sqrt{3},h)$。Eは線分DH上なので$0<h\leqq2\sqrt6$。
PはAE上なので$P=(2\sqrt{3}t,ht)$、$0\leqq t\leqq1$と表せる。従って
$$PM^2=(2\sqrt3t-3\sqrt3)^2+h^2t^2 =(12+h^2)t^2-36t+27.$$
頂点の$t=\frac{18}{12+h^2}$。$0<h\leqq\sqrt6$では$t\geqq1$なので区間上の最小は$t=1$（$P=E$）で$PM=\sqrt{h^{2}+3}$。$h\geqq\sqrt6$では頂点が区間内に入り、最小平方は
$$27-\frac{324}{12+h^2}=\frac{27h^2}{12+h^2},$$
最小値は$\frac{3\sqrt3h}{\sqrt{12+h^2}}$。$h=\sqrt{6}$では両式が3となり一致する。