2愛知医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) 実部と虚部

$\frac1z$があるので$z≠0$、従って$r>0$である。極形式の逆数は
$$\frac1z=r^{-1}(\cos\theta-i\sin\theta).$$
zに加えると
$$z+\frac1z=(r+r^{-1})\cos\theta+i(r-r^{-1})\sin\theta,$$
よって実部と虚部は結論の通り。

(2) wが描く図形

半径2の円上では$r=2$、θが$0\leqq\theta<2\pi$を動くので
$x=\frac52\cos\theta$、$y=\frac32\sin\theta$。
従って
$$\frac{4x^2}{25}+\frac{4y^2}{9}=1.$$
逆にこの式を満たす点では$\left(\frac{2x}5\right)^2+\left(\frac{2y}3\right)^2=1$だから、両者を$\cos\theta,\sin\theta$とする角が存在し、そのθのzで実現する。従って中心が原点、長軸がx軸方向で長半径 $\frac52$、短半径 $\frac32$の楕円全周である。