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愛知医科大学／2022年度／推薦

1愛知医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

難易度必答 レベル 3/10 目安 15分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

愛知医科大学2022年度第1問
正の数xx、yyが条件(log⁡2x)2+(log⁡2y)2=20\left(\log_{2}x\right)^{2}+\left(\log_{2}y\right)^{2}=20を満たしているとき、xy2\sqrt{xy^{2}}のとり得る値の範囲を求めよ。

出典：愛知医科大学 2022年度 推薦 数学 第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • √(xy²)の値域
    132≦xy2≦32\frac1{32}\leqq\sqrt{xy^2}\leqq32。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

xy2\sqrt{xy^{2}}の値域

u=log⁡2xu=\log_2x、v=log⁡2yv=\log_2y と置く。x,y>0x,y>0 より u,vu,v は実数で、条件は u2+v2=20u^2+v^2=20。また
xy2=2u2+v. \sqrt{xy^2}=2^{\frac u2+v}.
平方を展開すれば
54(u2+v2)−(u2+v)2=(u−v2)2≧0. \frac54(u^2+v^2)-\left(\frac u2+v\right)^2 =\left(u-\frac v2\right)^2\geqq0.
したがって −5≦u2+v≦5-5\leqq\frac u2+v\leqq5。上下端は (u,v)=(2,4),(−2,−4)(u,v)=(2,4),(-2,-4) で達成する。
中間の値も全てとれることを具体的に示す。実数 tt を用いて
u=2cos⁡t−4sin⁡t,v=4cos⁡t+2sin⁡t u=2\cos t-4\sin t,\qquad v=4\cos t+2\sin t
とすれば、u2+v2=20u^2+v^2=20、u2+v=5cos⁡t\frac u2+v=5\cos t となり、右辺の値域は [−5,5][-5,5]。
2s2^s は ss について連続かつ増加するので
132≦xy2≦32. \frac1{32}\leqq\sqrt{xy^2}\leqq32.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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この問題について

愛知医科大学の2022年度（推薦）の数学は全5問で、この問題は第1問です。

難易度は全大学共通の物差しでレベル3（目安15分）、この大学の中では「必答」です。この年度の評価済みの5問の中で、いちばん易しい問題です。

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